กิฟฟารีน

กิฟฟารีน

ค้าหาภายในเว็บบอร์ดค้าหาภายในเว็บบอร์ด

อ่านกระทู้ทั้งหมด


ทฤษฎีความวิบัติ

โลกรู้จัก Rene Thom ในฐานะนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้มีชื่อเสียงด้าน algebraic topology (ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต) ที่มีสมการและภาพของทฤษฎีความวิบัติ (catastrophe theory) ผลงานนี้ทำให้ Thom ได้รับรางวัลเหรียญ Fields ประจำ ค.ศ.1958 ซึ่งเป็นรางวัลที่มีศักดิ์ศรีเทียบเท่ารางวัลโนเบลที่โลกรู้จักดี

Rene Thom เกิดที่เมือง Montbeliard ในฝรั่งเศสเมื่อวันที่ 2 กันยายน ค.ศ. 1923 (รัชสมัยสมเด็จพระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว) ได้รับการศึกษาชั้นต้นที่ Lycee Saint-Louis และระดับมหาวิทยาลัยที่ Ecole Normale Superiore ที่ปารีส Thom สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกเมื่ออายุ 25 ปี จากมหาวิทยาลัย Strasbourg ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง Sphere Bundles and Steenrod Squares โดยมีอาจารย์ที่ปรึกษาคือ Henri Cartan ในวิทยานิพนธ์นี้มีทฤษฎี cobordism ที่ทำให้ Thom ได้รับเหรียญ Fields

หลังจากที่สำเร็จการศึกษาไม่นาน Thom ได้รับทุนไปวิจัยคณิตศาสตร์ที่อเมริกาแล้วกลับมาเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Grenoble นานหนึ่งปี และที่มหาวิทยาลัย Strasbourg อีก 9 ปี Thom ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์เมื่ออายุ 34 ปี จากมหาวิทยาลัย Strasbourg จากนั้นได้ย้ายไปทำงานที่ Institut des Hautes Etudes Scienlifiques ในเมือง Bures-sur-Yvette ใกล้กรุง Paris และทำงานที่นั่นจนเกษียณเมื่ออายุ 65 ปี

ผลงานชิ้นแรกๆ เอง Thom ที่ทำให้มีชื่อเสียง คือ ผลงาน differential topology ซึ่งกล่าวถึง Thom spaces, characteristic classes, cobordism theory, Thom’s Transversality theory และ Thom conjecture ในเวลาต่อมาความสนใจของ Thom ได้มุ่งไปที่ทฤษฎีภาวะเอกฐาน (singularity theory) ที่มีทฤษฎีความวิบัติเป็นแขนงหนึ่ง ในบั้นปลายชีวิต Thom สนใจเรื่อง topological manifolds

ตำนานเกี่ยวกับความเก่งของ Thom นั้นมีมากมาย เช่น ในช่วงเวลาที่ Thom ทำวิทยานิพนธ์กับ Cartan อาจารย์ที่ปรึกษา ซึ่งมักบ่นว่าความสามารถในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Thom ไม่เป็นที่น่าพอใจ และถึงจะกระตุ้นเท่าไร Thom ก็ไม่ได้ทุ่มเทความพยายามเลย เพื่อนของ Cartan จึงบอกว่า อย่าห่วง เพราะทฤษฎีบทเหล่านั้นมีคนมากมายที่สามารถพิสูจน์ได้ แต่จะมี Thom เพียงคนเดียวเท่านั้นที่สามารถตั้งทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ได้ เพราะ Thom เป็นนักเรขาคณิตที่ใช้จินตนาการในการเห็นภาพของคณิตศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในสมัยนั้นมักหมกมุ่นกับการหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบท ส่วน Thom กลับทำงานในทางตรงกันข้าม คือ ชอบถามว่าเหตุใดความคิดหรือทฤษฎีของบางเรื่องจริงๆ หรือควรเป็นจริง แล้วให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ พิสูจน์สิ่งที่เขารู้ (ในใจ) คนเดียวว่าจริง

ปัญหาหนึ่งที่ Thom สนใจคือ เกณฑ์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้กำหนดว่าอะไรบ้างจริงแบบทั่วไป และอะไรบ้างที่จริงแบบเฉพาะกรณี หรืออีกนัยหนึ่ง อะไรที่ธรรมดา และอะไรที่พิเศษ สำหรับเหตุการณ์ทั่วไป นักคณิตศาสตร์อาจใช้ทฤษฎีสถิติของความเป็นไปได้ในการกำหนดเกณฑ์ เช่น เส้นตรงสองเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกัน โดยทั่วไปจะตัดกัน แต่จะมีกรณีเดียวที่เส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน นั่นคือ เมื่อเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ในทำนองเดียวกันในสามมิติ โดยทั่วไปเส้นตรงสองเส้นจะไม่ตัดกัน ในการศึกษาเรื่องนี้ Thom ได้ให้คำจำกัดความของคำว่า generic ซึ่งบอกความเป็นจริงทั่วไป และได้ตั้งเกณฑ์การตรวจสอบความเป็น generic ด้วยทฤษฎี Transversality Theorem ที่ถูกนำมาใช้มากในคณิตศาสตร์ยุคใหม่ คือ แทนที่จะหาสมบัติที่เป็นจริงตลอดเวลา นักคณิตศาสตร์ได้หันมาสนใจหาสมบัติที่ generic คือ จริงแบบทั่วไป

จากนั้น Thom ได้หันมาสนใจประเด็นความผิดปกติ และพบว่าในการถามว่า อะไรผิดปกติ เขาต้องจำแนกภาวะเอกฐานออกเป็นชนิดต่างๆ โดยเริ่มจากกรณีที่พบบ่อย แล้วพบน้อยลงๆ จนพบน้อยที่สุด การคิดเช่นนี้เป็นเรื่องยากสำหรับนักคณิตศาสตร์ธรรมดาแต่สำหรับ Thom แล้ว ไม่มีปัญหา เพราะเขาสามารถเห็นการ mapping ระหว่าง spaces ที่มีมิติต่างกันได้ในจินตนาการ

Thom เสียชีวิตเมื่อวันที่ 25 ตุลาคม ค.ศ. 2002 สิริอายุ 79 ปี ที่ Bures-sur-Yvette หลังจากที่ได้ล้มป่วยมานานและโลกก็ระลึกถึง Thom ว่าเป็นบุคคลที่ได้เปลี่ยนโฉมคณิตศาสตร์ในทำนองเดียวกับจิตรกรผู้ยิ่งใหญ่ที่ได้สร้างสไตล์ใหม่ในการวาดภาพ ถึงจะเป็นคนที่เก่งมาก แต่ Thom ก็วางตัวดี ไม่หยิ่ง เพราะไม่ต้องการอำนาจวาสนาใดๆ ใครจะมาพบปะเขาก็ง่าย และเขาพร้อมฟังความคิดเห็นของบุคคลอื่น

ในทฤษฎีความวิบัตินั้น Thom ได้จำแนกภาวะเอกฐานออกเป็น 7 ชนิด และใช้ชื่อเรียกเช่น fold, cusp, swallow tail ฯลฯ ตามลักษณะพื้นผิวใน 3 มิติ ชื่อเหล่านี้ทำให้คนทั่วไปที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์รู้สึกประทับใจ เพราะภาพที่เห็นมีลักษณะคล้ายสิ่งที่ Thom ตั้งชื่อ

ในเบื้องต้นทฤษฎีความวิบัติ ได้ถูกนำไปใช้ในวิชาชีววิทยา เรื่อง Morphogenesis (การสร้างรูปร่างของสิ่งมีชีวิตให้มีความเฉพาะเจาะจง) ทั้งๆ ที่ในสมัยนั้น นักคณิตศาสตร์ไม่เคยคิดว่าคณิตศาสตร์จะข้องเกี่ยวกับปัญหาชีววิทยาเลย แต่ Thom ได้ชักนำนักคณิตศาสตร์เข้ามาสนใจ และพัฒนาชีววิทยาในแนวใหม่

จากนั้นทฤษฎีความวิบัติก็ได้ถูกนำไปประยุกต์กับศาสตร์สาขาอื่นๆ ในวิทยาศาสตร์ เพราะนักวิทยาศาสตร์ได้พบว่า ธรรมชาติมีกระบวนการสองรูปแบบ คือ แบบต่อเนื่อง หรือราบเรียบ เช่นลักษณะการหมุนรอบตัวเองของโลกและการไหลของกระแสไฟฟ้าในเส้นลวด กับแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น การแบ่งเซลล์แบบไม่หยุดยั้ง การขาดของเส้นเชือกเมื่อถูกถ่วงด้วยลูกตุ้มที่หนักเกินไป

สำหรับกระบวนการแบบต่อเนื่องนั้น Isaac Newton และ Gottfried Leibniz ได้คิดวิชาแคลคูลัสขึ้นมาใช้อธิบายเมื่อ 330 ปีก่อน แต่สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ต่อเนื่อง บุคคลที่คิดวิธีอธิบาย คือ Rene Thom แห่ง Paris Institute for Higher Scientific Studies ผู้พบทฤษฎีความวิบัติ (ในความเป็นจริงเรื่องที่ไม่หายนะก็ใช้ทฤษฎีนี้อธิบายได้เหมือนกัน) สำหรับการอธิบายเหตุการณ์ที่เปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันเช่น ฝูงชนที่เดินสวนสนามอย่างเป็นระเบียบ แล้วกลายสภาพเป็นม็อบ ซึ่งเป็นปัญหาที่นักสังคมวิทยาสนใจ หรือในกรณีเซลล์แบ่งตัวช้าๆ ตามปกติ แล้วทันทีทันใดได้แบ่งตัวมากมายจนร่างกายเป็นมะเร็ง ซึ่งเป็นกรณีที่แพทย์สนใจ เป็นต้น

ในทฤษฎีความวิบัติเหตุการณ์ต่างๆ สามารถแทนได้ด้วยรูปทรงเราขาคณิต และในกรณีที่ระบบมีความซับซ้อนหรือมีตัวแปรมาก ภาพก็ยิ่งซับซ้อน โดยความวิบัติจะอุบัติ ณ ตำแหน่งที่เป็นบัพแหลม (cusp) หรือ รอยจีบ (pleat) ที่ผิว ภาพจึงมีความสำคัญในทฤษฎีความวิบัติ และผลงานสำคัญที่ Thom ได้ทำ คือ ได้แสดงให้เห็นว่า ถึงธรรมชาติจะมีเหตุการณ์ที่ไม่ต่อเนื่องจำนวนนับไม่ถ้วน แต่ทุกเหตุการณ์ก็สามารถแสดงได้ด้วยภาพเพียงไม่กี่ภาพโดยมีชื่อเรียกตามสิ่งที่มันดูคล้าย ดังนี้คือ

Fold Catastrophe ที่ใช้อธิบายปรากฏการณ์หักเหของแสงในหยดน้ำ ซึ่งทำให้เกิดรุ้งกินน้ำ

Crop Catastrophe ใช้อธิบายพฤติกรรมของสัตว์ที่กำลังหนีภัยเพราะถูกศัตรูคุกคาม และจนมุมจนต้องหันมาต่อสู้หลังชนฝา หรือ ความรู้สึกของคนยามรักกันแล้วเปลี่ยนเป็นเกลียด ในทางกลับกันเวลาเกลียดแล้วกลับหลงรักอย่างกะทันหัน หรือใช้ศึกษาพฤติกรรมของนักโทษ ซึ่งอาจเปลี่ยนจากวางเฉยเป็นก่อจลาจล

Swallow Catastrophe ใช้อธิบายธรรมชาติของการแบ่งเซลล์

Butterfly Catastrophe ใช้ทำนายพฤติกรรมของคนที่มีความผิดปกติของระบบประสาท การเปลี่ยนสถานะของสสารจากอสัณฐานเป็นผลึก

Hyperbolic Umbilic Catastrophe ใช้อธิบายการไหลของน้ำ

Parabolic Catastrophe ใช้วิจัยปัญหาด้านภาษาศาสตร์
เหล่านี้เป็นการนำคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน จึงเป็นการประยุกต์คณิตศาสตร์ที่ทำให้คนทั่วไปที่ไม่เข้าใจคณิตศาสตร์เห็นประโยชน์และความมหัศจรรย์ของคณิตศาสตร์ว่าสามารถอธิบายปรากฏการณ์ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา วิศวกรรมศาสตร์ จิตวิทยาและมนุษย์ศาสตร์ ฯลฯ ได้

ตามปกติ เวลานักคณิตศาสตร์ประยุกต์นำทฤษฎีความวิบัติไปใช้ เขาจะต้องเลือกตัวแปรที่เกี่ยวข้อง และสถิติที่ใช้สำหรับข้อมูล จากนั้นใช้คณิตศาสตร์ และคอมพิวเตอร์คำนวณตามแบบจำลอง เพื่อพยากรณ์พฤติกรรมของเหตุการณ์ได้ดังที่ E.C. Zeeman แห่งมหาวิทยาลัย Warwick ในอังกฤษ ใช้ Cusp Catastrophe ทำนาย เหตุการณ์ที่ลูกกบจะแบ่งตัวอย่างรวดเร็วในทันทีทันใดและใช้ Butterfly Catastrophe หาเวลาที่เหมาะสมในการรักษาคนไข้ที่เป็นโรค Anorexia Nervosa (อดอาหารอย่างจงใจ) ซึ่งอาจทำให้คนไข้คนนั้นตายได้

ความจริงในระยะแรกๆ Rene Thom ได้คิดจะใช้ทฤษฎีความวิบัติกับปัญหาชีววิทยาเพราะ Thom รู้ว่านักชีววิทยามีข้อมูลมากมายที่ได้จากการทดลอง แต่หาทฤษฎีคณิตศาสตร์มาอธิบายหรือทำนายไม่ได้ ทั้งนี้เพราะนักชีววิทยาส่วนใหญ่ไม่รู้คณิตศาสตร์ แต่เมื่อถึงวันนี้ การแก้ปัญหาชีววิทยา ต้องอาศัยวิทยาการหลายด้าน เช่นปัญหาว่า เหตุใดสิ่งมีชีวิตจึงมีรูปร่างอย่างที่เป็นคำตอบที่ได้มาจากวิชาชีววิทยาเอง คือ genetics, adaptation และ natural selection แต่ฟิสิกส์ ก็เข้ามามีบทบาทด้วยกฎที่ใช้ควบคุมลักษณะของสิ่งนั้นๆ มาบัดนี้คณิตศาสตร์กำลังพัฒนาชีววิทยาให้มีคำตอบเชิงปริมาณยิ่งกว่าที่เคยเป็นมาในอดีตโดยใช้ทฤษฎีความวิบัติของ Thom

สำหรับในส่วนของปรัชญาการทำงาน Thom มักอ้างถึงวาทะของ Heraclitus ที่ว่า “The master whose oracle is in Delphi neither reveals nor hides, but give hints” ครับ

สุทัศน์ ยกส้าน มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ
From : Fortune Stars  
Email : IP : 124.121.170.254

ลบ




ข้อความ
ผู้ Post
PicPost รูปไม่เกิน 100 Kb(jpg เท่านั้น)
   
Captcha
9hNpv8$#S@sG

รหัส
กิฟฟารีน